Sesión Lógica y Computabilidad

Diciembre 14, 11:40 ~ 12:00

Teoria de Modelos y logica de primer orden de un reducto intuisionista algebras de Lukasiewicz-Moisil

SLAGTER, Juan Sebastián

Es sabido que en las álgebras de Lukasiewiwz-Moisil ($\L M$) de orden $n< 5$, se puede definir una implicación de Lukasiewicz y una de Heyting, y en el caso general solo la de Heyting. Por otra parte, las implicaciones de Heyting que se pueden definir en cadenas coindiden con la implicación de G\"odel (o implicación trivial de Hilbert), esto permite axiomatizar a los respectivos reductos implicativos de las álgebras $\L M$, por medio de álgebras de Hilbert $n$-valentes (ver \cite{LM}). Esto fue la motivación de los trabajos fundacionales de M. Canals Frou y A. V. Figallo \cite{FC1,FC2}. En esta charla presentaremos el reducto en el que aparecen las operaciones de implicación y conjunción de las álgebras $\L M$ de orden $3$, denominadas álgebras de de Hilbert con supremo trivalentes modales, se estudian sus propiedades algebraicas con el objeto de presentar una lógica proposicional que sea correcta y completa con respecto a las álgebras introducidas; es de destacar, que dada un álgebra de la clase el ínfimo entre dos elementos no siempre existe. Presentaremos nociones adecuadas de la teoría de modelos para poder tratar la lógica de primer orden sin identidades. Con recursos algebraicos probaremos un Teorema de Correctitud, para esto nos apoyamos en los libros \cite{Chang, Coniglio} y la tesis de doctorado \cite{Itala}. Posteriormente, extendemos el lenguaje con un bottom y agregamos un axioma que caracteriza la nueva constante. Luego, consideramos una negación fuerte a partir del bottom, es de destacar que no es una negación de De Morgan. Esta nueva negación permite caracterizar adecuadamente la noción de consistencia y probar una completitud al estilo Henkin, por medio de la construcción de una teoría maximal consistente que sea extensión de una teoría consistente dada, en dicha construcción se extiende el lenguaje con un conjunto de constantes (numerables), es importante observar que la noción de testigo y la posterior construcción del modelo solo necesita de una condición sobre el cuantificador existencial, a pesar que el lenguaje no tiene disyunción y que la lógica no tiene teoremas que permitan relacionar los cuantificadores. Por lo tanto, para esta nueva lógica con negación conseguimos probar Teoremas de Completidud y Compacidad, y por supuesto, de Correctitud. \small \begin{thebibliography}{99} \bibitem{Chang} C. C. Chang and H. J. Keisler, {\em Model theory}. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 pp. \bibitem{FC1} M. Canals Frau and A. V. Figallo, {\em $(n+1)$-valued Hilbert modal algebras}, Notas de la Sociedad Matematica de Chile, vol.X, 1(1991), 143--149. \bibitem{FC2} M. Canals Frau and A. V. Figallo, {\em (n+1)-valued modal implicative semilattices}, Proceedings Of The 22nd International Symposium On Multipe Valued Logic. IEEE Computer Society, 1992, 198--205. \bibitem{Coniglio} W.A. Carnielli and M.E. Coniglio. {\em Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation}, Volume 40 in the Logic, Epistemology, and the Unity of Science Series, Springer, 2016. \bibitem{c2} S. Celani and D. Montangie, {\em Hilbert algebras with supremum}, Algebra Universalis 67(2012), no. 3, 237--255. \bibitem{Itala} Itala M. L. D'Ottaviano. Sobre uma Teoria de Modelos Trivalente, PhD thesis in Mathematics, IMECC, State University of Campinas, Brazil, 1982. \bibitem{LM} L. Monteiro, {\em Alg\`ebres de Hilbert $n-$valentes}, Portugaliae Math. 36(1977), 159--174. \end{thebibliography}

Autores: SLAGTER, Juan Sebastián / FIGALLO ORELLANO, Aldo.