Sesión Lógica y Computabilidad
Diciembre 14, 17:30 ~ 17:50
Filtros primos y maximales en la subvariedad de BL-\'{a}lgebras generada por $[0,1]_{\textbf{MV}}\oplus H$.
LUBOMIRSKY, Noemí
Las BL-\'{a}lgebras fueron introducidas por H\'{a}jek (\cite{H}) para formalizar las lógicas difusas en las cuales la conjunción se interpreta mediante t-normas continuas sobre el intervalo real $[0,1]$. Estas \'{a}lgebras forman una variedad, usualmente llamada $\mathcal{BL}$. Nos concentraremos en la subvariedad $\mathcal{MS}\subseteq \mathcal{BL}$ generada por ${\bf S}=[0,1]_{\textbf{MV}}\oplus H$. La principal ventaja de esto es que, a diferencia del trabajo hecho en \cite{B} y \cite{AB}, la cadena generadora permanece fija. Esto nos permite comprender claramente el rol de los dos bloques principales de la cadena generadora en la descripción de las funciones en el \'{a}lgebra libre: el rol de los elementos regulares y el rol de los elementos densos. De este modo se puede dar una representación funcional del \'{a}lgebra libre $Free_{\mathcal{MS}}(n)$. Para definir las funciones en esta representación basta con descomponer el dominio $\textbf{S}^{n}=([0,1]_{\textbf{MV}} \oplus H)^{n}$ en un n\'{u}mero finito de regiones sobre las cuales una función $F \in Free_{\mathcal{MS}} (n)$ coincide o bien con una función de $Free_{\mathcal{MV}} (n)$ o bien con una función de $Free_{\mathcal{H}} (m)$, del siguiente modo: \begin{itemize} \item Para todo $\bar{x} \in [0,1]_{\textbf{MV}}^{n}$, $F(\bar{x})=f(\bar{x})$, donde $f$ es una función de $Free_{\mathcal{MV}}(n)$. \end{itemize} Para el resto del dominio, las funciones dependen de esta función $f:([0,1]_{\textbf{MV}})^{n} \rightarrow [0,1]_{\textbf{MV}}$: \begin{itemize} \item Sobre $H^{n}$: Si $f(\bar{1})=0$, entonces $F(\bar{x})=0$ para todo $\bar{x} \in H^{n}$, y si $f(\bar{1})=1$, entonces $F(\bar{x})=g(\bar{x})$, para una función $g \in Free_{\mathcal{H}} (n)$, para todo $\bar{x} \in H^{n}$. \end{itemize} Sean $B= \lbrace x_{\sigma (1)},\ldots, x_{\sigma (n)} \rbrace$ un subconjunto propio no vac\'{i}o del conjunto de variables $\lbrace x_{1}, \ldots, x_{n} \rbrace$ y $R_{B}$ un subconjunto de $\textbf{S}^{n}$ donde $x_{i} \in B$ si y solamente si $x_{i} \in H$. Para todo $\bar{x} \in R_{B}$ definimos $\tilde{x}=(\tilde{x}_{1}, \ldots, \tilde{x}_{n})$ como: $ \tilde{x}_{i}=x_{i}$ si $i \notin B$ y $ \tilde{x}_{i}=1$ si $i \in B$. \begin{itemize} \item Sobre $R_{B}$: Si $f(\tilde{x})<1$ entonces $F(\bar{x})=f(\tilde{x})$. Si $f(\tilde{x})=1$, entonces hay una triangulación regular $\Delta$ de $f^{-1}(1) \cap R_{B}$ que determina los s\'{i}mplices $S_{1} , \ldots ,S_{n}$ y $l$ funciones en $Free_{\mathcal{H}}(n-m)$, $h_{1} , \ldots , h_{n}$ en $n-m$ variables, donde $m$ es el cardinal de $B$ tal que $F(\bar{x})=h_{i}(x_{j_1}, \ldots ,x_{j_{m-n}})$, $j_i\notin B$ para cada punto en el interior de $S_{i}$. \end{itemize} Nuestro objetivo es estudiar los filtros en $Free_{\mathcal{MS}}(n)$. En las BL-\'{a}lgebras los filtros implicativos caracterizan las congruencias y rec\'{i}procamente, si $\equiv$ es una relación de congruencia sobre $A$, entonces el conjunto $\lbrace x \in A: x \equiv 1 \rbrace$ es un filtro implicativo. Por lo tanto, la correspondencia $F \mapsto \equiv_{F}$ es una biyección del conjunto de filtros implicativos de $\textbf{A}$ en el conjunto de congruencias de $\textbf{A}$. Caracterizaremos los filtros primos (que quedan determinados por los filtros primos de $Free_{\mathcal{MV}}(n)$ y $Free_{\mathcal{H}}(n)$) y los filtros maximales y probaremos que hay una correspondencia biun\'{i}voca entre los filtros maximales de $Free_{\mathcal{MS}}(n)$ y $[0,1]_{\textbf{MV}}^{n}$. \bibliographystyle{plain} \begin{thebibliography}{4} \bibitem{H} P. H\'{a}jek. Metamathematics of Fuzzy Logic Kluwer, 1998. \bibitem{AB} S. Aguzzoli and S. Bova. The free n-generated BL-algebra Annals of Pure and Applied Logic, 161: 1144 to 1170, 2010. \bibitem{B} S. Bova. BL-functions and Free BL-algebra. PhD thesis. University of Siena. \end{thebibliography}
Autores: LUBOMIRSKY, Noemí / Busaniche, Manuela / CASTIGLIONI, José Luis.