Sesión Análisis

Diciembre 14, 11:40 ~ 12:00

Funciones multilineales en espacios de Hilbert

Rodríguez, Jorge Tomás

Un resultado clásico de Stefan Banach establece que en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ (real o complejo), para una función $T:\mathcal{H}\times \cdots \times \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{K}$ $k$-lineal, continua y simétrica que alcanza su norma existe un vector de la diagonal donde alcanza su norma. Más precisamente, si existen vectores $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$ de norma uno tales que $$\Vert T \Vert =|T(\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k)|,$$ donde $\Vert \cdot \Vert$ es la norma uniforme sobre la bola del espacio, entonces existe un vector $\textbf{x}$ de norma uno tal que $$\Vert T \Vert =|T(\textbf{x},\ldots,\textbf{x})|.$$ El objetivo de esta charla es caracterizar los puntos donde una función multilineal puede alcanzar su norma. Veremos que en un espacio Hilbert complejo $\mathcal{H}$, dados $k$ vectores de norma uno $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$, con $k\geq 3$, existe una función $k$-lineal $T:\mathcal{H}\times \cdots \times \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{K}$ que alcanza su norma en $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$ si y sólo si $$\dim(\operatorname{span}\{\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k\})=1.$$ En otras palabras, las funciones $k$-lineales en espacios de Hilbert complejos alcanzan su norma exclusivamente en $k$-uplas de la forma $(\lambda_1 \textbf{x},\ldots, \lambda_k\textbf{x})$, con $$\Vert \textbf{x} \Vert = |\lambda_1|=\cdots=|\lambda_k|=1.$$ Para espacios de Hilbert reales veremos que este resultado no se extiende. En este contexto estudiaremos condiciones suficientes sobre los vectores $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$ para que exista una función $k$-lineal que alcance su norma en ellos.

Autores: Carando, Daniel / Rodríguez, Jorge Tomás.