Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática
Diciembre 14, 11:20 ~ 11:40
Un problema de determinaci{ó}n de coeficiente \\ en ecuaciones en derivadas parciales parab{ó}licas \\ utilizando problema inverso de momentos
PINTARELLI, María Beatriz
Se quieren hallar $a(t)$ y $w(x,t)$ tales que
\[w_{t} =a(t) \left(w_{x}\right)_{x}+r(x,t)\]
bajo la condici{ó}n inicial
\[w(x,0)= \varphi(x)\qquad (1)\]
y las condiciones de contorno
\[w(0,t)=0 \qquad w_{x}(0,t)=w_{x}(1,t)+\alpha w(1,t)\qquad (2)\]
sobre una regi{ó}n $ D=\lbrace (x,t), \quad 00 \rbrace $ \\
Adem{á}s se debe cumplir
\[\int_{0}^{1} w(x,t)dx=E(t) \qquad (3)\]
donde $\varphi(x)$ , $r(x,t)$ y $E(t)$ son funciones conocidas y $\alpha$ es un n{ú}mero real arbitrario distinto de cero.\\
El objetivo consiste en resolver el problema como una aplicaci{ó}n del problema inverso de momentos.\\
Primero se deduce una expresi{ó}n exacta para $a(t)w(1,t)$. Luego, anotando $w^{*}(x,t)=a(t)w(x,t)$, se resuelve en un primer paso en forma num{é}rica la ecuaci{ó}n integral
\[\iint_{D}G(x,t)x^{m}Exp(-(m+1)t)dxdt=\psi1(m)\]
donde
\[G(x,t)=-xw^{*}_{x}(x,t)-w^{*}_{t}(x,t)\]
es la funci{ó}n a determinar.\\
En un segundo paso se resuelve en forma num{é}rica la ecuaci{ó}n integral
\[\iint_{D}w^{*}(x,t)K(m,n,x,t)dxdt=\psi2(m,n)\]
donde $w^{*}(x,t)$ es la funci{ó}n incognita, $\psi2(m,n)$ es una expresi{ó}n en funci{ó}n de $G(x,t)$ y $K(m,n,x,t)$ es conocida.\\
Ambas ecuaciones integrales se resuelven num{é}ricamente aplicando las t{é}cnicas de problema de momentos.\\
Luego se encuentra una aproximaci{ó}n para $w(x,t)$ , que anotamos $wAp(x,t)$, utilizando la soluci{ó}n encontrada en el segundo paso y la condici{ó}n (3).\\
Por {ú}ltimo se halla una aproximaci{ó}n para $a(t)$ utilizando $a(t)w(1,t)$ y $wAp(x,t)$.\\
Se dan cotas para el error de las aproximaciones siempre usando la t{é}cnicas de problema de momentos.\\
Adem{á}s se ilustra el m{é}todo con varios ejemplos.
Autores: PINTARELLI, María Beatriz.