Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Diciembre 14, 11:20 ~ 11:40

Un problema de determinaci{ó}n de coeficiente \\ en ecuaciones en derivadas parciales parab{ó}licas \\ utilizando problema inverso de momentos

PINTARELLI, María Beatriz

Se quieren hallar $a(t)$ y $w(x,t)$ tales que \[w_{t} =a(t) \left(w_{x}\right)_{x}+r(x,t)\] bajo la condici{ó}n inicial \[w(x,0)= \varphi(x)\qquad (1)\] y las condiciones de contorno \[w(0,t)=0 \qquad w_{x}(0,t)=w_{x}(1,t)+\alpha w(1,t)\qquad (2)\] sobre una regi{ó}n $ D=\lbrace (x,t), \quad 00 \rbrace $ \\ Adem{á}s se debe cumplir \[\int_{0}^{1} w(x,t)dx=E(t) \qquad (3)\] donde $\varphi(x)$ , $r(x,t)$ y $E(t)$ son funciones conocidas y $\alpha$ es un n{ú}mero real arbitrario distinto de cero.\\ El objetivo consiste en resolver el problema como una aplicaci{ó}n del problema inverso de momentos.\\ Primero se deduce una expresi{ó}n exacta para $a(t)w(1,t)$. Luego, anotando $w^{*}(x,t)=a(t)w(x,t)$, se resuelve en un primer paso en forma num{é}rica la ecuaci{ó}n integral \[\iint_{D}G(x,t)x^{m}Exp(-(m+1)t)dxdt=\psi1(m)\] donde \[G(x,t)=-xw^{*}_{x}(x,t)-w^{*}_{t}(x,t)\] es la funci{ó}n a determinar.\\ En un segundo paso se resuelve en forma num{é}rica la ecuaci{ó}n integral \[\iint_{D}w^{*}(x,t)K(m,n,x,t)dxdt=\psi2(m,n)\] donde $w^{*}(x,t)$ es la funci{ó}n incognita, $\psi2(m,n)$ es una expresi{ó}n en funci{ó}n de $G(x,t)$ y $K(m,n,x,t)$ es conocida.\\ Ambas ecuaciones integrales se resuelven num{é}ricamente aplicando las t{é}cnicas de problema de momentos.\\ Luego se encuentra una aproximaci{ó}n para $w(x,t)$ , que anotamos $wAp(x,t)$, utilizando la soluci{ó}n encontrada en el segundo paso y la condici{ó}n (3).\\ Por {ú}ltimo se halla una aproximaci{ó}n para $a(t)$ utilizando $a(t)w(1,t)$ y $wAp(x,t)$.\\ Se dan cotas para el error de las aproximaciones siempre usando la t{é}cnicas de problema de momentos.\\ Adem{á}s se ilustra el m{é}todo con varios ejemplos.

Autores: PINTARELLI, María Beatriz.