Sesión Análisis

Diciembre 12, 18:10 ~ 18:30

Spherical analysis on homogeneous vector bundles of the 3-dimensional euclidean motion group

DíAZ MARTíN, Rocío Patricia

En esta charla estudiaremos una forma de describir ciertos operadores lineales acotados usando el Análisis de Fourier. En particular, consideraremos operadores invariantes por rotaciones y traslaciones sobre las secciones de cada uno de los fibrados homogéneos del grupo de transformaciones rígidas en el espacio euclídeo tridimensional. En el caso clásico se consideran las secciones del fibrado trivial, o sea, espacios funcionales sobre $\mathbb{R}^3$ a valores escalares (por ejemplo $C^\infty(\mathbb{R}^3)$, $L^2(\mathbb{R}^3)$), y sobre éstos se estudian operadores invariantes por rotaciones y traslaciones. La generalización a fibrados no triviales lleva a trabajar con espacios de funciones a valores vectoriales. El teorema del núcleo de Schwartz establece que dichos operadores son siempre de convolución y su núcleo tiene una forma particular. Si buscamos diagonalizarlos simultáneamente, esto es, representarlos como \textit{multiplicadores} mediante una misma transformación, necesitamos que conmuten entre sí. Como la composición de éstos coincide con la convolución de sus núcleos, desembocamos en la noción de \textit{par de Gelfand} y sus generalizaciones. La \textit{Transformada de Fourier Esférica} permite describir a dichos operadores de manera diagonal. Para su cómputo es necesario hallar las llamadas \textit{Funciones Esféricas}. En esta charla presentaremos su cálculo explícito de tres maneras distintas en este caso particular. Finalmente, daremos una explicación de por qué es relevante el estudio de este ejemplo.

Autores: DíAZ MARTíN, Rocío Patricia / Levstein, Fenando / Saal, Linda.