Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad

Diciembre 14, 15:30 ~ 15:50

La desigualdad de Kurdyka-\L{}ojasiewicz-Simon para flujos gradiente en espacios métricos

Mazon Ruiz, Jose Manuel

La clásica desigualdad de \L{}ojasiewicz y sus extensiones debidas a Simon y Kurdyka han tenido un considerable impacto en el estudio del comportamiento asintótico para flujos gradiente en espacios de Hilbert. Nuestro objetivo es adaptar estas clásicas desigualdades al marco general de flujos gradiente en espacios métricos. Mostramos que la validez de la desigualdad de Kurdyka-\L{}ojasiewicz implica la convergencia al equilibrio y la validez de la desigualdad de \L{}ojasiewicz-Simon nos permite obtener estimaciones del decaimiento y en algunos casos el tiempo finito de extinción. Los métodos de entropía han provado ser muy útiles en el estudio del comportamiento asintótico de mucha ecuaciones en derivadas parciales. Dicho método se basa en la desigualdad de producción de entropía (Desigualdad log-Sobolev) y en la desigualdad de transporte de entropía (Desigualda de Talagrand). Demostramos que para funcionales de energía geodésicamente convexos dichas desigualdades son equivalentes y coinciden con la desigualdad de \L{}ojasiewicz-Simon. Finalmente aplicamos nuestros resultados abstractos a ejemplos concretos en espacios de Hilbert y en espacios de medidas de probabilidad con la distancia de Wasserstein. Por ejemplo, para el funcional de energía asociado con ecuaciones doblemente no lineales obtenemos la equivalencia entre las desigualdades de \L{}ojasiewicz-Simon, log-Sobolev y Talagrand; estudiando también estimaciones del decaimiento de sus soluciones.

Autores: Mazon Ruiz, Jose Manuel / Hauer, Daniel .