Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Diciembre 15, 16:50 ~ 17:10

Modelado de redes biológicas con lógicas multivaluadas

García Galofre, Juliana

{ Las redes de interacciones biológicas, como las redes de regulación génica, han sido estudiadas e\-xi\-to\-samente mediante modelos matemáticos tanto continuos como discretos (especialmente Booleanos) \cite{AO,CTG,M,VCS}. La concentración de cada gen/especie química (``especie'') se indica con una variable $x_i$ que varía en el tiempo y que en los modelos discretos, puede tomar finitos valores. Considerando una discretización del tiempo y $n$ especies, el comportamiento de toda la red está dado entonces por una función $F=(f_1,\dots , f_n)$ y, si la actualización es sincrónica, las iteraciones de $F$ describen la dinámica de la red. El comportamiento asintótico de estas redes es de gran interés, en particular la descripción de los estados de equilibrio $F(x)=x$. Los modelos Booleanos se han utilizado extensamente y han sido muy útiles para estudiar sistemas donde lo que abunda es la información cualitativa y no tanto la cuantitativa. Sin embargo, presentan varias limitaciones al sólo permitir dos estados posibles para las concentraciones de las especies. Por otro lado, los modelos multivaluados que se han usado hasta el momento expresan la dinámica, artificialmente, por medio de ecuaciones polinomiales sobre cuerpos finitos. En este trabajo abordamos el modelado discreto de redes biológicas tomando las concentraciones de las especies dentro de un conjunto finito $X=\{0,\frac{1}{m},\dots,\frac{m-1}{m},1\}$ para $m\in \mathbb{N}$ fijo (con $m$ arbitrario). Las operaciones que consideramos son $neg$, $\oplus$ y $\odot$ ($neg(x)=1-x$, $x\oplus y=min\{1, x \boldsymbol{+}y\}$, $x\odot y=max\{0,x+y-1\}$), que provienen de la lógica matemática~\cite{Cignoli} y se ajustan mejor a la interpretación biológica. Nuestro enfoque abre el camino a nuevos métodos algebraicos y combinatorios. Demostramos que cualquier función $f:X^n\longrightarrow X$ con variables $x_1, \dots, x_n$, es expresable en terminos de $\oplus, \odot, neg$ y funciones constantes, de tal manera que su grafo de dependencia tenga gráficamente la misma información que $f$. Si bien es necesario ampliar la cantidad de variables, demostramos que el grado no aumenta para ningún vértice del grafo de dependencia. Este es un parámetro que controla heurísticamente la complejidad de los cálculos con bases de Gr\"obner. Por otro lado, este aumento en la cantidad de variables conserva la información de los puntos fijos. El próximo paso será afinar la determinación de los puntos fijos por medio de métodos tropicales. {\small \begin{thebibliography}{99} \bibitem{AO} Albert, R., Othmer, H. (2003). \emph{The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the segment polarity genes in Drosophila melanogaster}. J. Theor. Biol. 223(1), 1--18. \bibitem{Cignoli} Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000). \emph{Algebraic foundations of many-valued reasoning}. {Trends in Logic-Studia Logica Library}, Vol. 7, {Kluwer Academic Publishers, Dordrecht}. \bibitem{CTG} Chaves, M., Tournier, L., Gouzé, J. (2010). \emph{Comparing Boolean and piecewise affine differential models for genetic networks}. Acta Biotheor., 58(2–3), 217--232. \bibitem{M} Mendoza, L. (2006). \emph{A network model for the control of the differentiation process in Th cells}. Biosystems, 84, 101--114. \bibitem{VCS}Veliz-Cuba, A., \& Stigler, B. (2011). Boolean models can explain bistability in the lac operon. J. Comput. Biol., 18(6), 783–794. \end{thebibliography} } }

Autores: DICKENSTEIN, Alicia / García Galofre, Juliana / Pérez Millán, Mercedes.