Sesión Geometría y Topología

Diciembre 14, 11:40 ~ 12:00

La ecuación de Yamabe en una región de $S^3$ invariante por la acción del toro

REY, Carolina Ana

Sea $\Omega$ una región de $S^3$ invariante por la acción de $T^2$ en $S^3$. Estudiaremos la multiplicidad de soluciones positivas de la ecuación de Yamabe en $\Omega$ que se anulan en la frontera: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} \Delta _ {S ^ 3} U = - ( U^5 + \lambda U), \hspace{0.2cm} U>0 \hspace{0.5cm}&\hbox{en } \Omega&\\ U=0 \hspace{3.3cm}&\hbox{en } \partial\Omega&\\ \end{array} \right. \end{equation} Si suponemos que la función $U:\Omega \to [0,+\infty)$ es invariante por la acción del toro $T^2$, entonces $U=u(\theta)$ para alguna función $u:[0,\theta_1]\to [0,+\infty) $ que es solución de la siguiente ODE: \begin{equation}\label{tor} \left\{ \begin{array}{rcl} u''(\theta) + 2 \frac{ \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} u'(\theta) &=& \lambda \left(u(\theta)^5 - u(\theta)\right)\hspace{0.5cm}\hbox{en } (0,\theta_1)\\ u&>&0 \hspace{2.7cm}\hbox{en } (0,\theta_1)\\ u'(0)&=&0\\ u(\theta_1)&=&0\\ \end{array} \right. \end{equation} A partir del estudio de este nuevo problema vamos a demostrar que el número de soluciones de (\ref{tor}) aumenta a medida que $\lambda$ tiende a $-\infty$.

Autores: REY, Carolina Ana.