Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad (II)

Diciembre 13, 11:40 ~ 12:00

Aproximaciones anal'iticas a soluciones estacionarias de una ecuaci'on de Schr'odinger no lineal discreta

BEN, Roberto

El sistema acoplado (1) modela la propagación de rayos láser en un sustrato de cristales líquidos nemáticos (nematicones), sujeto a un potencial eléctrico externo que preorienta las moléculas nemáticas. \begin{subequations}\label{NLSCoup} t\begin{align} t\label{NLScoup1} t& i \partial_z u + \frac{1}{2} \nabla_{xy}^2 u + u sin(2\theta) = 0, \\ t\label{NLScoupled2} t& \nu \nabla_{xy}^2 \theta -q sin(2\theta) = -2 \left|u\right|^2 cos(2\theta), t\end{align} \end{subequations} El ángulo $\theta$ describe la respuesta al campo eléctrico $u$ debido al láser, $\nu$ y $q$ son constantes reales y $z$ el eje óptico en el que se propaga el rayo. En [3] se estudia el buen planteo del problema y la existencia de soluciones estacionarias de este sistema. Una versión discreta, que modela la propagación láser en un arreglo de guías de ondas en nematicones, fue presentada por Fratalocchi y Assanto [5]. Se trata de una ecuación de Schr\"odinger no-lineal (DNLS) con no-localidad de tipo Hartree: \begin{equation}\label{DNLS} \dot{u}_n = \delta i \left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}\right) + 2 \gamma \tanh \frac{\kappa}{2} i \sum_{m \in \mathbb{Z}} e^{-\kappa \left|m-n\right|} \left| u_m \right|^2 u_{n}, n \in \mathbb{Z}, \ t>0. \end{equation} donde $\delta$ y $\gamma$ son números reales y $\kappa > 0$. Soluciones de tipo breathers (solitones discretos) a esta DNLS son estudiadas en [1] y [2] en el caso anticontinuo ($\delta = 0$), probándose la existencia de extensiones para $\delta$ suficientemente peque\~no. Basándonos en un enfoque variacional analizamos diversos tipos de aproximaciones analíticas a soluciones de esta ecuación, y las comparamos con los correspondientes breathers hallados numéricamente en [1]. Presentamos también un trabajo en progreso de búsqueda de solitones a una ecuación DNLS con no linealidades de tipo Hartree, cúbica y de grado siete, que surgen de tomar una expansión de Taylor de orden tres para el seno y el coseno en el sistema original. Relacionamos este estudio con los resultados presentados en [4] para la DNLS con nolinealidad cúbica-quíntica que nos permiten conjeturar, bajo ciertas condiciones, la presencia de bifurcaciones en la amplitud de breathers con igual decaimiento. \vspace{5mm} {\Large Referencias:} [1] {\sc{R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni, P. Panayotaros}}, {\em Localized solutions for a nonlocal discrete NLS equation}, Phys. Lett. A 379, 17051714 (2015). [2] {\sc{R.I. Ben, J.P. Borgna, P. Panayotaros}}, {\em Properties of some breather solutions of a nonlocal discrete NLS equation}, Communications in Mathematical Sciences (forthcomming paper). [3] {\sc{J. P. Borgna, P. Panayotaros, C. Sánches de la Vega, D. Rial}}, {\em Optical solitons in nematic liquid crystals: model with saturation effects}, preprint. [4] {\sc{R. Carretero-Gonz\'{a}lez, J.D. Talley, C. Chong, B.A. Malomed}}, {\em Multistable solintos in the cubic-quintic discrete nonlinear Schrôdinger equation}, Physica D 216 (2006), pp. 77-89. [5] {\sc{A. Fratalocchi, G. Assanto}}, {\em Discrete light localization in one-dimensional nonlinear lattices with arbitrary nonlocality}, Phys. Rev. E 72, 066608 (2005)

Autores: BEN, Roberto / BORGNA, Juan Pablo.