Sesión Geometría y Topología

Diciembre 15, 16:10 ~ 16:30

Propiedades homotópicas del complejo de bases parciales de un grupo libre

SADOFSCHI COSTA, Iván

Una \textit{base parcial} de un grupo libre $F$ es un subconjunto de una base de $F$. En [3] consideramos el complejo simplicial $\mathrm{PB}(\mathbb{F}_n)$ que tiene como símplices las bases parciales no vacías de $\mathbb{F}_n$ y probamos que $\mathrm{PB}(\mathbb{F}_n)$ tiene el tipo homotópico de un wedge de esferas de dimensión $n-1$. Más aún, $\mathrm{PB}(\mathbb{F}_n)$ resulta ser Cohen-Macaulay. El teorema de Solomon-Tits dice que el complejo simplicial asociado al poset de subespacios propios de un espacio vectorial de dimensión $n$ tiene el tipo homotópico de un wedge de esferas de dimensión $n-2$. Este objeto geométrico permite estudiar el grupo $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$. Más recientemente aparecieron objetos geométricos análogos para $\mathrm{Aut}(\mathbb{F}_n)$. En [2], Hatcher y Vogtmann probaron que el complejo $\mathrm{FC}(\mathbb{F}_n)$ de factores libres propios del grupo libre de rango $n$ es Cohen-Macaulay de dimensión $n-2$. En [1], Day y Putman definen el complejo simplicial $\mathcal{B}(\mathbb{F}_n)$ cuyos símplices son los conjuntos de clases de conjugación $\{C_0 , \ldots , C_k \}$ de $\mathbb{F}_n$ tales que existe una base parcial $\{v_0 , \ldots , v_k \}$ de $\mathbb{F}_n$ con $C_i=[v_i]$ para $0\leq i\leq k$. Day y Putman prueban que $\mathcal{B}(\mathbb{F}_n )$ es $0$-conexo si $n\geq 2$ y $1$-conexo si $n\geq 3$. También prueban que cierto cociente es $(n- 2)$-conexo y conjeturan que $\mathcal{B}(\mathbb{F}_n)$ es $(n-2)$-conexo. Para probar que $\mathrm{PB}(\mathbb{F}_n)$ es Cohen-Macaulay utilizaremos resultados previos de Hatcher y Vogtmann junto con algunas ideas de Day y Putman. \bigskip \bigskip \noindent [1] M. Day and A. Putman. \textit{The complex of partial bases for $\mathbb{F}_n$ and finite generation of the Torelli subgroup of $\mathrm{Aut}(\mathbb{F}_n)$}. Geometriae Dedicata 164 (2013), 139-153. \noindent [2] A. Hatcher, K. Vogtmann. \textit{The complex of free factors of a free group}. Quarterly Journal of Mathematics, 49 (1998), 459-468. \noindent [3] I. Sadofschi Costa. \textit{The complex of partial bases of a free group is Cohen-Macaulay}. En preparación.

Autores: SADOFSCHI COSTA, Iván.