Sesión Geometría Algebraica y Teoría de Números

Diciembre 14, 16:30 ~ 16:50

Ecuaciones de Pfaff, factores integrantes y formas logarítmicas.

Gargiulo Acea, Javier Nicolás

El marco global de este trabajo es el problema de clasificación y estudio global de foliaciones algebraicas, o más en general, ecuaciones y sistemas de Pfaff sobre variedades algebraicas complejas. En esta comunicación desarrollamos distintas versiones de un resultado sobre 1-formas logarítmicas establecido por Jouanolou en [6], para el estudio de soluciones algebraicas de ecuaciones de Pfaff proyectivas. Posteriormente, mostramos una posible generalización al caso de formas de grados superiores. Las ecuaciones de Pfaff algebraicas están dadas por 1-formas diferenciales algebraicas sobre una variedad algebraica compleja, que pueden ser entendidas como ecuaciones locales sobre los vectores del espacio tangente. En el caso integrable, y bajo ciertas hipótesis, estas ecuaciones determinan una foliación de dicha variedad. Resultados clásicos sobre factores integrantes y soluciones algebraicas de este tipo de ecuaciones pueden encontrarse en [6] y [4]. En particular, Jouanolou probó en [6] un lema importante que establece bajo qué condiciones una 1-forma (o ecuación) con cierto tipo de factor integrante resulta trivial y que sirve como base para resultados referidos a la cantidad de soluciones algebraicas. Siguiendo los resultados anteriores, establecemos la relación entre las ecuaciones de Pfaff que admiten al menos un factor integrante y el conocido haz de 1-formas logarítmicas en el caso proyectivo. Aprovechando esta conexión, deducimos algunas aplicaciones del mencionado lema que fueron desarrolladas en [2]. Por último, presentamos un generalización del lema al caso de formas de grados superiores, que será desarrollada en [1]. Para ello, debemos establecer cuales son las hipótesis adecuadas sobre las componentes del divisor definido por el factor integrante, dependiendo del grado de dicha forma. Para la demostración de este resultado se utilizará una adecuada teoría general de residuos (símbolos de Grothendieck, ver [5]), que generaliza las técnicas utilizadas en el caso de grado uno. \begin{thebibliography}{9} \footnotesize \bibitem{1} F. Cukierman \& J. Gargiulo Acea, \emph{On a Jouanolou’s lemma for logarithmic forms}, (2017). En redacción. \bibitem{2} F. Cukierman, J. Gargiulo Acea \& C. Massri, \emph{Stability of logarithmic differential one-forms}, arXiv:1706.06534 [math.AG], (2017). En prensa. \bibitem{3} J. Gargiulo Acea, \emph{Higher degree logarithmic forms and singular projective foliations}, (2017). En redacción. \bibitem{4} É. Ghys, \emph{A propos d’un théoreme de J.-P. Jouanolou concernant les feuilles fermées des feuilletages holomorphes,} Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 49, no. 1, p. 175-180, (2000). \bibitem{5} R. Hartshorne. \emph{Residues and duality}, Berlin-Heidelberg-New York 20, (1966). \bibitem{6} J.\, P. Jouanoulou, {Équations de Pfaff algébriques}, Springer Lecture Notes in Mathematics 708, (1978). \end{thebibliography}

Autores: Gargiulo Acea, Javier Nicolás / Cukierman, Fernando .