Sesión Matemática Discreta

Diciembre 14, 16:10 ~ 16:30

Grupos de simetría de métricas en Teória de Códigos

VIDES, Maximiliano

En la Teoría de Códigos, al comenzar el estudio de códigos sobre anillos y grupos, tratando de generalizar los resultados sobre cuerpos finitos, y teniendo en cuenta la utilidad de la métrica de Lee, se consideró también la idea de utilizar métricas distintas a la de Hamming, mas adecuadas para cada estructura. De esta manera surgieron muchos tipos de métricas, como la métrica homogénea, la métrica rango, métricas de Lee generalizadas, métricas Poset, entre otras. \indent En general, la construcción de métricas sobre grupos y anillos, con buenas propiedades esta relacionado con construir estructuras combinatorias, como esquemas de asociación o anillos de Schur, y las isometrías entre espacios métricos se relaciona con isomorfismos entre dichas estructuras. En esta presentación estudiaremos espacios métricos $(G,d)$ mediante su grupo de simetría $\Gamma (G,d)$, el cual resulta ser de utilidad para estudiar algunas propiedades importantes de métricas para la teoría de códigos, en particular la existencia de una identidad de MacWilliams que relacione el enumerador de pesos de un código con el enumerador de pesos de su código dual. También resulta ser de extrema utilidad para considerar la existencia de isometrías de espacios métricos. En particular, en el caso de las métricas Poset, para las cuales se conoce el grupo de simetrías lineales $\Gamma_{lin}(\mathbb{F}_q^{n},d_P)$, logramos calcular el grupo completo de simetría $\Gamma(\mathbb{F}_q^{n},d_P)$, para el caso en que $P$ sea un poset jerárquico, generalizando resultados previos.

Autores: VIDES, Maximiliano.