Sesión Análisis Numérico y Optimización

Diciembre 14, 16:30 ~ 16:50

Algoritmo de Newton y derivada de forma en optimización geométrica

Chicco Ruiz, Anibal

Las soluciones a problemas de optimización geom\'{e}trica del tipo $\Gamma^*=\verb|argmin|_{\Gamma\in\mathcal{A}} J(\Gamma)$, donde $\mathcal{A}$ es un conjunto de superficies admisibles, pueden encontrarse hallando una ra\'{i}z de la derivada del funcional de energ\'{i}a $J(\Gamma):\mathcal{A}\rightarrow \mathbb{R}$ respecto la superficie $\Gamma$. A su vez, esta ra\'{i}z puede aproximarse mediante un algoritmo del tipo Newton utilizando derivada de segundo orden de $J(\Gamma)$. Esas derivadas respecto la superficie se llaman derivadas de forma. Si el funcional de energ\'{i}a es del tipo $J(\Gamma)=\int_{\Gamma} z(\Gamma) d\Gamma$, hace su aparición la derivada de forma de una función $z(\Gamma)\in W^{r,p}(\Gamma)$. El \'{a}rea ($z(\Gamma)\equiv 1$) y el flujo de Willmore ($z(\Gamma)= \frac{1}{2}\kappa^2$, donde $\kappa$ es la curvatura media) son ejemplos de este tipo de funcionales. En general, la dependencia de $z(\Gamma)$ respecto $\Gamma$ es a trav\'{e}s del tensor de curvatura $D_\Gamma \boldsymbol{n}$ (segunda forma fundamental) y sus invariantes geom\'{e}tricos, donde $\boldsymbol{n}$ es el vector normal a $\Gamma$ y $D_\Gamma$ la derivada tangencial. En esta charla hablaremos sobre derivadas de forma de funciones, que pueden ser de dominio o de superficie, mostrando propiedades de la mismas y algunas confusiones entre ambas surgidas en la literatura. Tambi\'{e}n contaremos un resultado que permite intercambiar derivadas de forma con derivadas tangenciales. Aplicando esta fórmula a $D_\Gamma \boldsymbol{n}$ y sus invariantes, mostraremos cómo queda el algoritmo de Newton para el funcional de \'{a}rea y el de Willmore, con algunos ejemplos num\'{e}ricos usando m\'{e}todos isogeom\'{e}tricos.

Autores: Chicco Ruiz, Anibal / Morin, Pedro / Pauletti, M. Sebastián .