Sesión Analisis (II)

Diciembre 15, 16:30 ~ 16:50

Leyes normales para los números irracionales cuadráticos

CESARATTO, Eda

El desarrollo en fracción continua de un número irracional $x\in (0,1)$ se interpreta como la codificación de la órbita de $x$ producida por el sistema dinámico inducido por la transformación de Gauss $T:[0,1]\mapsto [0,1]$, $T(x)=\{1/x\}$ si $x\neq 0$, y $T(0)=0$ (aqu\'{\i} $\{a\}$ indica la parte fraccionaria de $a$). Esta codificación da lugar a una sucesión de números naturales $\left(m_i(x)\right)_{i\in \mathbb N}$ que identifica al número $x=[0;m_1(x),\dots, m_i(x),\dots]$. Este trabajo estudia, desde un punto de vista estad\'{\i}stico, el conjunto $\mathcal P$ formado por los números irracionales cuadráticos $x$ que dan lugar a órbitas periódicas del sistema dinámico asociado a $T$. La interpretación geométrica de las fracciones continuas da sentido a la definición de la talla de $x\in \mathcal P$ como la unidad fundamental $\epsilon(x)>1$ del anillo de enteros de la extensión cuadrática $\mathbb{Q}(x)$. Para cada $N\in \mathbb N$, se considera el conjunto ${\mathcal P}_N$ de elementos $x$ de $\mathcal P$ cuya talla $\epsilon(x)$ está acotada por $N$. Los trabajos de Pollicott [3], Boca y Ustinov [4] muestran, dando cotas de error, que el cardinal del conjunto $\mathcal P_N$ crece como $(2/\mathcal E)\, N^2$ donde $\mathcal E=\zeta(2)/\log 2$ es la entrop\'{\i}a de la transformación de Gauss. En esta presentación se analizan variables $C:\mathcal P\to \mathbb R$ que están definidas como la acumulación de un peso $c:\mathbb Z_{>0}\mapsto \mathbb R$. Las variables $C(x)=\sum_{i=1}^{p(x)} c(m_i(x)) $, donde $p(x)$ es la longitud del per\'{\i}odo de $x$, contemplan varias variables clásicas como la frecuencia de un d\'{\i}gito $n$ que está asociada al peso $c$ dado por la función caracter\'{\i}stica de $n$. Pollicott [3] y Kelmer [2], entre otros, consideraron cada conjunto $\mathcal P_N$ provisto de la probabilidad uniforme $\mathbb P_N$ y mostraron, sin dar cotas de error, que la esperanza $\mathbb E_N[C]\sim \mu(c)\log N$ donde $\mu(c)$ involucra al promedio del peso $c$ con respecto a la medida de Gauss $d\mu=(\log2 (1+x))^{-1}dx$ y a la entrop\'{\i}a $\mathcal E$. Para pesos $c$ que tienen un crecimiento logar\'{\i}tmico nuestro trabajo provee una caracterización completa del comportamiento de la variable $C$ que incluye una estimación de la varianza ${\mathbb V}_N[C]$ y una suerte de teorema central del l\'{\i}mite. Más precisamente, para algún $\beta >0$, $ \qquad \mathbb E_N[C]= \mu(c) \log N + \mu_1(c) +O(N^{-\beta}), \quad {\mathbb V}_N[C]=\nu(c) \log N + \nu_1(c) +O(N^{-\beta})\ \, $ \noindent donde $\mu(c)>0$, $\nu(c)0$, $\mu_1(c), \nu_1(c)$ son constantes computables. Además, la sucesión de variables $C_N$ definidas como la variable $C$ restringida a $\mathcal P_N$ ($C_N$ convenientemente normalizada) converge en distribución a una variable normal cuando $N\to \infty$, con un error de orden $O\left( 1 /{\sqrt {\log N}} \right)\, .$ La prueba sigue los lineamientos de [1] que utiliza una metodolog\'{\i}a conocida como ``análisis dinámico de algoritmos''. Se pondera con el peso $c$ a la función zeta de Selberg y se la reescribe utilizando los objetos espectrales del operador de transferencia asociado a $T$. Esta reescritura permite prolongar anal\'{\i}ticamente su dominio y extraer coeficientes v\'{\i}a el teorema de Landau. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{Baladi&Vallee:2005} Viviane~Baladi y Brigitte~Vall{é}e. \newblock {Euclidean algorithms are Gaussian}. \newblock {\em J. Number Theory}, 110:331--386, 2005. \bibitem{Kelmer:2012} Dubi Kelmer. \newblock {Quadratic irrationals and linking numbers of modular knots}. \newblock {\em J. Mod. Dyn.}, 6(4):539--561, 2012. \bibitem{Pollicott:1986} Mark Pollicott. \newblock {Distribution of closed geodesics on the modular surface and quadratic irrationals}. \newblock {\em Bull. Soc. Math. France}, 114:431--446, 1986. \bibitem{Ustinov:2013} Alexey~Ustinov. \newblock Spin chains and Arnold's problem on the Gauss-Kuz'min statistics for quadratic irrationals. \newblock {\em Sb. Math}, 204(5-6):762–779, 2013. \end{thebibliography}

Autores: CESARATTO, Eda / VALLEE, Brigitte.